Как построить спираль Золотого сечения.

Рубрика: (Интересные факты) | Автор: EDEM | Дата: 21-08-2011



Построение спирали Золотого сечения.

О спирали Золотого сечения в интернете написано много, а как ее построить на практике, мне найти не удалось. Точнее нашел, что спираль Фиббоначи имеет очень хорошее приближение к спирали золотого сечения, и в рамках обычных технических построений укладывается в обычные допуски измерений (< 3%). Но как ее строить, там сказано не было. Пришлось доходить самому. Чем и делюсь.

Для того, чтобы в любом месте построить кусок спирали золотого сечения, достаточно иметь линейку и циркуль, или кусок веревки. Технология следующая.

Берем ряд Фиббоначи, и выбираем из него участок наиболее подходящий для наших целей. Чем хорош ряд  Фиббоначи, что его не надо хранить и запоминать, он всегда под рукой. И ошибки копирования исключаются. Могут быть только Ваши ошибки вычислений.

Итак, берем последовательность 0, 1. К 0 прибавляем 1, получаем 1.

Получили начало ряда 0; 1; 1;…

А далее все просто.

1+1=2;

1+2=3;

2+3=5;

3+5=8;

5+8=13;

8+13=21;

13+21=34;

34+21=55;

89+55=144;

144+89=233;

233+144=377;

377+233=610;

610+377=987;

987+610=1587;

1587+987=2584;

2584+1587=4181;

и т.д.

Получили ряд Фиббоначи, в диапазоне практических нужд.

0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1587; 2584; 4181…

Обычно 0 в ряду Фиббоначи не указывают, почему, не знаю, в алгоритм построения он укладывается.

Далее все также просто.

Допустим, нам  требуется построить кусок спирали Золотого сечения в метровом диапазоне.

Берем 3 отрезка 89, 144, 233, и последовательно откладываем их под углом 90 градусов. Далее делим каждый отрезок на √2=1.4142 или умножаем на 0.7071 и получаем радиусы сопрягающих дуг. Как строить сопрягающие дуги, описывать лениво :.-).

Легче дать рисунок.

Здесь показано построение спирали для часто используемых размеров, которое я сделал в автокаде.

Зеленым цветом выделены размеры отрезков из ряда Фиббоначи и радиусы дуг для получения соответствующих отрезков спирали. Дуги пересекаются с прямыми линиями под углом 45 градусов.

Дополнительно показаны свойства спирали Золотого сечения.

Красным цветом показано, что любой отрезок, пересекающий спираль через ее центр делится спиралью на части в золотой пропорции 0.618 к 0.382. Т.е. отношение большего отрезка к меньшему отрезку, равно 1/F=0.618... Где F=1.618… -число Золотого сечения.

Синим цветом показано, что отрезок, заключенный между линиями спирали делится в точке ее центра на 2 отрезка в отношении 1/ F2 = 0.382.

Интересно, только сейчас заметил.

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 90 градусов  соотносятся как 1/ F .

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 180 градусов  соотносятся как 1/ F2.

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 270 градусов  соотносятся как 1/ F3.

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 360 градусов  соотносятся как 1/ F4. И т.д.

И в другую сторону, но менее точно.

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 45 градусов  соотносятся как 1/F0.5.

Отрезки, соединяющие центр спирали с линией спирали под углом 22.5 градуса  соотносятся как 1/F0.33. И т.д.

Занятно…

Кстати.  В литературе известно так называемое второе золотое сечение, в котором отрезок делится на 2 в соотношении L1=0.559863 L2=0.440137, L2/ L1=0.7861513. Причем это соотношение выводят путем довольно сложных геометрических построений, и естественно не так точно (0.56 к 0.44). Так вот, это отношение получается в степенном ряду числа F0.5 =1.2720196495141, соответственно 1/F0.5=0.7861513777574. В этом ряду каждый второй член равен каждому следующему  члену из степенного ряда F.  Т.е 0.78615137775742 = 0.618033988… А 1.27201964951412 = 1.618033988…

Для тех, кому интересно привожу фрагменты этих рядов с точностью до 12 знака.

Число золотого сечения F=1,6180339887498949000 (sF2)

Деление отрезка L1=0.618034 L2=0.381966

Последовательность степенного ряда золотого сечения:

N         -12      0.003105620015

N         -11      0.005024998741

N         -10      0.008130618756

N         -9        0.013155617496

N         -8        0.021286236252

N         -7        0.034441853749

N         -6        0.055728090001

N         -5        0.090169943749

N         -4        0.145898033750

N         -3        0.236067977500

N         -2        0.381966011250

N         -1        0.618033988750

N         0          1.000000000000

N         1          1.618033988750

N         2          2.618033988750

N         3          4.236067977500

N         4          6.854101966250

N         5          11.090169943749

N         6          17.944271909999

N         7          29.034441853749

N         8          46.978713763748

N         9          76.013155617496

N         10        122.991869381244

N         11        199.005024998741

N         12        321.996894379985

N         13        521.001919378726

N         14        842.998813758711

N         15        1364.000733137437

N         16        2206.999546896148

N         17        3571.000280033586

N         18        5777.999826929734

N         19        9349.000106963320

N         20        15126.999933893054

N         21        24476.000040856376

N         22        39602.999974749429

N         23        64079.000015605809

N         24        103681.999990355240

N         25        167761.000005961050

N         26        271442.999996316270

N         27        439204.000002277320

N         28        710646.999998593590

N         29        1149851.000000871000

N         30        1860497.999999464700

N         31        3010349.000000335700

N         32        4870846.999999800700

N         33        7881196.000000136900

N         34        12752042.999999939000

N         35        20633239.000000078000

N         36        33385282.000000019000

N         37        54018521.000000097000

N         38        87403803.000000119000

N         39        141422324.000000210000

N         40        228826127.000000330000

Некоторые целые числа, выражаемые через F:

Число i1=1/F+1/F^2=            1.00000000000000000

Число i1_=F-1/F=                 1.00000000000000000

Число i1_=F^2-F=                1.00000000000000000

Число i2=F+1/F^2=               2.00000000000000000

Число i2_=F^2-1/F=             2.00000000000000000

Число i3=F^2+1/F^2=           3.00000000000000000

Число i3_=F^3-1/F^3-F+1/F=3.00000000000000000

Число i4=F^3-1/F^3=           4.00000000000000000

Число i5=F^4-F-1/F^3=        5.00000000000000000

Число i7=F^4+1/F^4=           7.00000000000000000

Число i11=F^5-1/F^5=         11.00000000000000000

Число i18=F^6+1/F^6=         18.00000000000000000

Число i29=F^7-1/F^7=         29.00000000000000400

Число i47=F^8+1/F^8=         47.00000000000000700

Число i76=F^9-1/F^9=         76.00000000000001400

Второе золотое сечение Корень из F=1.2720196495141

Деление отрезка L1=0.559863 L2=0.440137

Последовательность степенного ряда второго  золотого сечения F^0.5:

N         -12      0.055728

N         -11      0.070887

N         -10      0.090170

N         -9        0.114698

N         -8        0.145898

N         -7        0.185585

N         -6        0.236068

N         -5        0.300283

N         -4        0.381966

N         -3        0.485868

N         -2        0.618034

N         -1        0.786151

N         0          1.000000

N         1          1.272020

N         2          1.618034

N         3          2.058171

N         4          2.618034

N         5          3.330191

N         6          4.236068

N         7          5.388362

N         8          6.854102

N         9          8.718552

N         10        11.090170

N         11        14.106914

N         12        17.944272

Некоторые целые числа, выражаемые через F^0.5:

Число i1=1/F^2+1/F^4=        1.00000000000000000

Число i1_=F^2-1/F^2=         1.00000000000000000

Число i2=F^2+1/F^4=           2.00000000000000000

Число i3=F^4+1/F^4=           3.00000000000000000

Число i7=F^8+1/F^8=           7.00000000000000000


Оставить комментарий

Это не спам.
сделано dimoning.ru